מקבילית: תכונות ומשפטי זיהויגאומטריה 571 · שיעור 17
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות
שיעור 17: מקבילית: תכונות ומשפטי זיהוי
פרק 5 · מרובעים
1ההגדרה וארבע התכונות (עם הוכחה)
2ארבעה משפטי זיהוי של מקבילית
35 תרגילים, כולל שתי הוכחות
הגדרה + משפט + הוכחה
מקבילית: הצלעות הנגדיות שוות
ABCD מקבילית: AB ∥ DC , AD ∥ BC
מעבירים את האלכסון AC
∢BAC = ∢DCA
AB ∥ DC – זוויות מתחלפות שוות
∢BCA = ∢DAC
AD ∥ BC – זוויות מתחלפות שוות
AC = CA
צלע משותפת
△ABC ≅ △CDA
ז.צ.ז
AB = CD , BC = DA
במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
📐 משפטים במקבילית: הצלעות הנגדיות שוות · הזוויות הנגדיות שוות · סכום זוויות סמוכות 180 · האלכסונים חוצים זה את זה
📐 הגדרה
מקבילית: מרובע ששתי הצלעות הנגדיות בו מקבילות (שני זוגות)
📐 משפט
בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
📐 כלל
צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
📐 משפט חפיפה
ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
משפטי זיהוי
איך מוכיחים שמרובע הוא מקבילית
לפי ההגדרה: שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות
① כל זוג צלעות נגדיות שוות
② כל זוג זוויות נגדיות שוות
③ האלכסונים חוצים זה את זה
④ זוג אחד של צלעות נגדיות שוות וגם מקבילות
📐 הגדרה
מקבילית: מרובע ששתי הצלעות הנגדיות בו מקבילות (שני זוגות)
📐 משפט זיהוי
מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית
📐 משפט זיהוי
מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית
📐 משפט זיהוי
מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית
📐 משפט זיהוי
מרובע שבו זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות הוא מקבילית
תרגיל 1 · זוויות במקבילית · קל
ABCD מקבילית. ∢A = 3x + 10 , ∢B = x + 30
מצאו את x ואת כל זוויות המקבילית
מצאו את x ואת כל זוויות המקבילית
∢A + ∢B = 180
במקבילית סכום שתי זוויות סמוכות 180
3x + 10 + x + 30 = 180
מציבים
4x + 40 = 180
כינוס איברים דומים
4x = 140 ⟹ x = 35
מעבירים אגפים ומחלקים ב־4
∢A = 3 · 35 + 10 = 115 , ∢B = 35 + 30 = 65
מציבים x = 35
∢C = ∢A = 115 , ∢D = ∢B = 65
במקבילית הזוויות הנגדיות שוות
✅ פתרון סופי: x = 35 , ∢A = ∢C = 115 , ∢B = ∢D = 65
📐 משפט
במקבילית הזוויות הנגדיות שוות, וסכום שתי זוויות סמוכות 180 מעלות
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
תרגיל 2 · אלכסונים · קל
ABCD מקבילית, האלכסונים נפגשים ב־O
AO = 2y + 1 , OC = y + 5 , BD = 10. מצאו את y , AC ו־BO
AO = 2y + 1 , OC = y + 5 , BD = 10. מצאו את y , AC ו־BO
AO = OC
במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
2y + 1 = y + 5
מציבים
2y − y = 5 − 1 ⟹ y = 4
מעבירים אגפים וכינוס
AO = OC = 4 + 5 = 9
מציבים y = 4
AC = 9 + 9 = 18
AC = AO + OC
BO = BD : 2 = 10 : 2 = 5
האלכסונים חוצים זה את זה
✅ פתרון סופי: y = 4 , AC = 18 , BO = 5
📐 משפט
במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים
AB = AM + MB
תרגיל 3 · היקף · קל
ABCD מקבילית. AB גדולה פי 2 מ־BC, והיקף המקבילית 36
מצאו את אורכי הצלעות
מצאו את אורכי הצלעות
BC = a , AB = 2a
מסמנים
CD = AB = 2a , DA = BC = a
במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
2a + a + 2a + a = 36
היקף = סכום הצלעות
6a = 36
כינוס איברים דומים
a = 6
מחלקים ב־6
AB = CD = 12 , BC = DA = 6
מציבים a = 6
✅ פתרון סופי: AB = CD = 12 , BC = DA = 6
📐 משפט
במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
📐 כלל
כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
תרגיל 4 · הוכחה: מרובע שהוא מקבילית · בינוני
ABCD מקבילית. E על AB , F על CD , ו־AE = CF
הוכיחו: EBFD מקבילית
הוכיחו: EBFD מקבילית
ABCD מקבילית , AE = CF
נתון
מסתכלים על המרובע EBFD ועל הצלעות EB ו־FD
AB = CD
במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
EB = AB − AE , FD = CD − CF
חיסור קטעים
EB = FD
מחסרים קטעים שווים מקטעים שווים
EB ∥ FD
הם על AB ועל CD , ו־AB ∥ CD
EBFD מקבילית
זוג צלעות נגדיות שוות וגם מקבילות
✅ פתרון סופי: הוכחנו: EBFD מקבילית
📐 משפט
במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
📐 כלל
אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים
AB = AM + MB
📐 הגדרה
מקבילית: מרובע ששתי הצלעות הנגדיות בו מקבילות (שני זוגות)
📐 משפט זיהוי
מרובע שבו זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות הוא מקבילית
תרגיל 5 · מורכב: ישר דרך מפגש האלכסונים
ABCD מקבילית, O מפגש האלכסונים. ישר דרך O חותך את AB ב־E ואת CD ב־F
הוכיחו: OE = OF , ו־AECF מקבילית
הוכיחו: OE = OF , ו־AECF מקבילית
AO = OC
במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
∢OAE = ∢OCF
AB ∥ CD – זוויות מתחלפות שוות
∢AOE = ∢COF
זוויות קדקודיות
△AOE ≅ △COF
ז.צ.ז
OE = OF
במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
במרובע AECF: AO = OC , EO = OF
האלכסונים שלו הם AC ו־EF
AECF מקבילית
האלכסונים חוצים זה את זה
✅ פתרון סופי: הוכחנו: OE = OF , AECF מקבילית
📐 משפט
במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
📐 משפט
בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
📐 משפט
זוויות קדקודיות שוות זו לזו
∢1 = ∢3
📐 משפט חפיפה
ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 משפט זיהוי
מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית
📌 מה למדנו היום
📐 משפט
במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
📐 משפט
במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
📐 משפט זיהוי
מרובע שבו זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות הוא מקבילית
📐 משפט זיהוי
מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית
💡 כדי להשתמש בתכונה – צריך לדעת שזו מקבילית. כדי להוכיח שזו מקבילית – משתמשים במשפט זיהוי.
בשיעור הבא: מלבן, מעוין וריבוע
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא